Сколько дней?

Сколько дней?

1. Примерно миллион дней минул со дня первых Олимпийских игр Древней Греции (776 год до н. э.).

2. Примерно 3/4 миллиона дней минуло от начала нашей эры.

3. Михаил Ломоносов жил примерно 19 500 дней, а Фридерик Шопен, всего только 14 245 дней.

Эти числа порождают раздумья…

Вельможа и кузнец

Вельможа и кузнец Однажды вельможа, отправляясь в свое посольство в Рим (в XVII веке) и желая поразить всех роскошью своего убранства, заказал для своей лошади серебряные подковы и велел прибить их золотыми гвоздями. Читать далее

Энергия голоса

Энергия голоса

Допустим, что одновременно говорит 100 000 человек. Если можно было бы превратить энергию возникших звуковых волн в электрическую энергию, то оказалось бы, что ее хватит лишь на то, чтобы зажечь лампочку карманного фонарика. Мощность, образующаяся при одновременном разговоре всех жителей Земли, более менее соответствует мощности автомобильного двигателя. Ничего удивительного, что старинная пословица гласит: «Сколько ни говорить, а с разговора сытым не быть».

Дайте мне точку опоры и я

Дайте мне точку опоры и я

Описывая жизнь Архимеда (287—212 г. до н. э.), Плутарх из Херонеи (50—125) утверждает, что великий математик был столь убежден в мощности своих машин, что сказал «Дайте мне точку опоры — и я сдвину землю». Мы знаем, что точка опоры Архимеда должна находиться где-то вне Земли, на какойто другой планете. Давайте попробуем ответить на вопрос, какой длины должно быть плечо рычага, чтобы Архимед мог сдвинуть Землю.

Масса Земли составляет 6 • 1024 кг. Предположим, что человек в состоянии поднять в течение одной секунды 60 кг на высоту 1 м. Тогда одно плечо рычага должно быть во столько раз длиннее второго, на сколько 6 • 1024 больше 6 • 10, т. е. в 1023 раза. Пусть конец более короткого плеча рычага подымается (вместе с Землей) только на 1 см, тогда конец более длинного плеча должен опуститься на 1 см-1023 = 1 м — 1021 = 1018 кж

Это расстояние в 6000 миллионов раз больше расстояния от Земли до Солнца.

Предположим, что скорость опускания составляет 1 м/сек. Тогда движение более длинного плеча должно продолжаться 1012 лет. Но если бы мы даже предположили, что более длинное плечо рычага будет опускаться со скоростью света (300 000 км/сек), то и так это движение должно продолжаться 100 тысяч лет.

Таким образом горделивая фраза Архимеда — всего лишь поэтическая гипербола.

Архимед и число

Архимед и числоНормальный стакан емкостью 250 см3 заполнен чистыми мельчайшими песчинками (Архимед, собственно говоря, имел ввиду пылинки). Сколько песчинок находится в этом стакане?

Если вслед за Архимедом мы примем, что в одном маковом семени помещается 10 000 мельчайших песчинок, и учтем, что диаметр макового семени составляет примерно 1/2 мм, т. е., что в 1 мм3 можно поместить 8 маковых семян, то ответ на поставленный вопрос может быть найден легко. В 1 мм3 помещается 80 000 песчинок, следовательно, в 250 см3 поместится 80 000 • 1000 • 250, т. е. 20 миллиардов песчинок.

Совершенно неожиданное число.

Желая доказать, что нет такого множества, которое нельзя было бы сосчитать, Архимед рассчитал, сколько песчинок поместится в шаре, радиус которого равен расстоянию от Земли до звезд. Для своих расчетов Архимед разработал специальную систему счислений, единицей которой были мириады, т. е. 10 000. Чтобы хоть в какой-то мере дать представление о величине числа, полученного Архимедом в результате его расчета, попытаемся подсчитать, сколько песчинок может поместиться в сфере приблизительно равной нашей Земле, которая по сравнению со сферой Архимеда подобна песчинке. Объем Земли, как известно, составляет примерно 1027 см3.

Чтобы заполнить песком сферу, равную по величине Земле, с помощью стакана объемом 250 см3 — нужно наполнять его 1027:250 = 4 • 1024 раза. Если принять, что с помощью какого-то специального автомата мы можем высыпать 1000стаканов песка в секунду, то для того, чтобы наполнить 4 • 1024 стаканов песка необходимо 4 • 1024 :1000 = 4 • 1021 сек. В году насчитывается 31 536 000 сек (будем считать примерно 32 000 000 сек). Тогда автомат должен работать 4 • 1021 : 32 000 000 = 1 • 1014 лет, (100 000 000 000 000 лет), т. е. 100 триллионов лет. Вспомним, что, по подсчетам геологов, возраст нашей планеты — примерно 5—8 миллиардов лет, т. е. почти в 10 000 раз меньше, чем должен был бы работать наш автомат.

Цифры в Греции и Риме

Цифры в Греции и Риме

Римские цифры общеизвестны и используются еще сейчас, между прочим, на циферблатах часов, в надписях на мемориальных досках, при нумерации страниц книг и т. д.

Известно, например, что L — это 50, C— это 100, D — это 500, M — это 1000. Знаки С и М — это первые буквы слов «centum» — 100 и «mille» — 1000. Знаки L и D очевидно также были первыми буквами каких-то слов, однако слова эти до нас не дошли. Можно только предполагать, что это были этрусские слова или же выражения какого-то латинского наречия. С помощью этих цифр римляне писали числа, используя правила сложения и вычитания, например, LX = 60 (50+10); XL = 40(50-10); СМ = 900 (1000-100); MC = 1100 (1000+100) и т. д.

Римские цифры

I = 1

X = 10

C = 100

M = 1000

V = 5

L = 50

D = 500

Римляне пользовались дробями со знаменателем 60 (вавилонские) и со знаменателями 12 , 24 , 48.

Римские ученые осваивали дроби в связи со счетом денег и использованием мер и весов.

Римская монета Ас, чеканенная первоначально из меди, весила один фунт и делилась на двенадцать унций. Существовало даже специальное название «deunx» для 11/12 выражения (deunx =de uncia), т. е. Ас без одной унции.

Вычисление «в уме» облегчало пользование так называемого абака (abacus), счетной доски, разделенной на вертикальные полосы, по которым передвигались находившиеся там камни или фишки.

Греки применяли два способа записи чисел: аттическую нумерацию и ионическую.

При использовании ионической нумерации числа выражались буквами алфавита. Чтобы можно было отличить число от слова, над буквами, представлявшими числа, ставилась черточка. Этот способ записи чисел применялся жителями Милета, Александрии и других греческих областей, находившихся под влиянием культуры этих городов.

По всей вероятности, ионической нумерацией пользовались Фалес, Евклид, Архимед, Апполлоний, Герон и другие философы и ученые Александрии и Малой Азии.

Афинцы для обозначения чисел пользовались начальными буквами слов—числительных

С помощью этих цифр житель Древней Греции мог выразить каждое нужное ему число. Греки, которые для выражения чисел использовали буквы, желая указать на то, что данная буква выражает не целое число, а дробь с числителем один, писали знаменатель, а рядом ставился диакритический знак (два раза).

Если в числителе была не единица, а какое-то другое число, то греки писали один раз числитель (с одним знаком) и два раза знаменатель (с двумя знаками). Был также и другой метод записи дробей: числитель писался над знаменателем, но без черты. Так писал дроби, например, Диофант, великий математик III— IV веков нашей эры.

Цифры, которыми мы пользуемся в настоящее время, пришли к нам из Индии. Европейские народы познакомились с ними благодаря арабам.

Известный математик Леонардо Пизанский первым упоминает о них в своем основном труде «Книга Абака», изданном в 1202 году.

Египетские цифры

Египетские цифры

Почти столь же древними являются и египетские цифры.

Для выражения своих мыслей и слов на бумаге египтяне использовали знаки, которые мы в настоящее время называем иероглифами. Затем иероглифное письмо было заменено более простым иератическим письмом.

В обоих видах письма египтяне имели специальные знаки для цифр. Египтяне в начале писали числа высшего порядка, а затем низшего. При этом использовался принцип сложения или умножения. Египтяне умели также пользоваться дробями. Все египетские дроби имели в числителе единицу, других дробей они не умели даже выговорить (исключение составляло 2/3). Дроби писались так же, как и натуральные числа, только над ними ставилась точка, причем для 1/2 и для 2/3 имелись специальные знаки. Египтяне писали примерно так, если 23 хлеба мы разделим между 40 людьми, то каждый получит одну четвертую, одну пятую и одну восьмую часть одного хлеба.

Главным источником наших знаний о египетской математике является так называемый папирус Ахмеса (примерно 2000—1700 гг до н. э., сравни стр. 37), писца фараона, найденный в 1853 году. Иначе именуемый папирусом Ринда от фамилии владельца, приобретшего папирус в 1858 году. Ныне папирус хранится частично в лондонском Британском музее, а частично в Нью-Йорке {прим. переводчика).

Вавилонские цифры

Вавилонские цифры

Знакомясь с числами, мы не можем не заняться знаками, с помощью которых числа обозначаются на бумаге. Знаки эти мы называем цифрами. Самыми древними цифровыми знаками являются вавилонские знаки.

Если мы взглянем на карту, то увидим на ней две черные жирные извивающиеся линии — реки Тигр и Евфрат. Древние греки назвали эту страну Месопотамией, что по-русски означает междуречье, так как расположена она была в долине между двумя реками-близнецами.

Вавилонские цифры

Часть Месопотамии занимало могучее государство, столицей которого был город Вавилон. Уже четыре тысячелетия назад в Вавилоне расцветала наука и существовали библиотеки. Правда, в те времена еще не было печатных книг, но зато существовали глиняные таблички, на которых вавилонские мудрецы писали свои труды. Современные ученые нашли 44 таблички, на которых записана вся математическая наука, известная вавилонам. Ученые Вавилона пользовались, так называемой, клинописью. Клинописных букв было очень много, но цифровых знаков — мало.

На рисунке изображена одна из табличек с записью кодекса законов царя Хаммурапи. Вавилонские числа являются, собственно говоря, комбинацией трех клинописных знаков: единицы, десятка и нуля.

Вавилонские цифры

С помощью этих знаков можно было написать число тысяча, а также любое другое число, при этом использовались, как принцип сложения, так и умножения, а более крупные числа всегда предшествовали меньшим.

Кроме этого способа записи чисел вавилонцы применяли также позиционную систему и шестидесятиричный счет. В этом счете знак единицы может обозначать соответственно: 1, 60, 602 и т. д. в зависимости от места, которое занимает. Также в зависимости от занимаемого места знак десятки может соответственно означать: 10, 10 • 60, 10 • 602, 10 • 603 и т. д.

Вавилонские цифры

Вавилоны имели некое подобие знака нуль. Для выражения недостающего места они писали наклонно два знака единицы.

Вавилоны умели также пользоваться простыми и шестидесятеричными дробями (со знаменателями 60, 602, 603 и т. д.), которые записывали так, как мы пишем десятичные дроби. Они умели также выполнять четыре арифметических действия на натуральных числах и дробях, подсчитывать проценты, делить числа на пропорциональные части. Из области геометрии они знали лишь столько, сколько им было необходимо для нужд строительства и землемерного дела: умели подсчитать площадь фигур, ограниченных отрезками, например, площадь треугольника, четырехугольника и т. д.

Названия чисел

Названия чисел

Прежде, чем начать считать, необходимо решить две задачи: выбрать систему счисления и установить названия числительных. Уже много тысячелетий тому назад почти все народы, принадлежащие к нашей цивилизации, избрали одну и ту же систему счисления, основанную на десятичной системе: десяток содержит десять единиц, сотня — 10 десятков, тысяча — 10 сотен и т. д.

Однако, названия числительных каждый народ установил в зависимости от своих потребностей. В русском языке имеются отдельные названия для первых десяти цифр и первых трех ступеней числа десять: 101 (десять), 102 (сто) и 103 (тысяча).

Древние греки имели также название мириады для обозначения числа 104, а древние обитатели Индийского полуострова, которые пользовались санскритом, имели наименования числительных для обозначения и дальнейших ступеней числа десять вплоть до 1010.

Пока требования, предъявляемые повседневной жизнью и наукой, были относительно незначительны, вполне хватало числительных и их производных: 10 тысяч, 100 тысяч, 1000 тысяч и т. д. Но уже в позднем средневековье, благодаря прогрессу науки и развитию экономических отношений, потребовались более крупные числа чем тысяча тысяч, а тем самым, возникла необходимость дать им определенные названия.

Так возникли такие числительные, как: миллион, миллиард, биллион, триллион, квадриллион, квинтиллион и т. д. Очень любопытно, что на разных языках эти названия употребляются для обозначения разных чисел. Итак, например, в Польше, Великобритании, Германии миллион обозначает 10б, миллиард 109, биллион 1012, триллион 1018, квадриллион 1024, квинтиллион 1030, в то время как во Франции, России и Соединенных Штатах Северной Америки биллион обозначает 109, триллион 1012, квадриллион 1015 и т. д.

Происхождение таких названий как биллион, триллион, квадриллион, квинтиллион становится вполне понятным, если вспомнить латынь: эти названия состоят из двух несколько видоизмененных латинских слов: bis (два раза), ter (три раза), quarter (четыре раза)… и суффикс «lion». Только числительное «миллион» происходит от итальянского «mileone», что означает «жирная тысяча». С помощью этих терминов можно было назвать большие числа, встречающиеся в астрономии, физике, географии, как, например:

Среднее расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 км,

Площадь земного шара – 510 000 000 км2

Объем земного шара – 1 083 000 000 000 км3

Масса земного шара — 6 000 000 000 000 000 000 000 т

Так как выписывать столь большие числа — операция довольно-таки трудоемкая, да и для этого требуется много бумаги, ученые решили вместо длиннющего ряда нулей писать эти числа в виде 10n. Символ n указывает, сколько необходимо дописать нулей. Итак, например, число 1 083 000 000 000 можно записать в виде 1083 • 109, а число

6 000 000 000 000 000 000 000 — соответственно в виде 6 • 1021.

Такой способ записи позволил представить даже самые большие числа, с которыми мы встречаемся при астрономических исчислениях, в очень простом виде.

Астрономы утверждают, что наиболее отдаленные галактики, иначе говоря, громадные скопления звездных систем, состоящие из миллиардов звезд, находятся от нас на таких расстояниях, что солнечному лучу, бегущему со скоростью 300 000 км/сек, нужно миллиард лет, дабы преодолеть такое расстояние.

Из этого следует, что это расстояние порядка 1022 км. Но даже такое, столь необъятное разумом, расстояние, которое отделяет нашу крохотную Землю от самых удаленных галактик, можно представить очень просто в миллиметрах весьма несложным числом 1028, так как 1022 км= 1022•106 мм; 1 км= 103м = 103 • 103 мм.

Человек второй половины XX века умеет хорошо считать. Правда, может быть, не столь быстро, как этого от него требуют темпы современного ритма работы и научного прогресса. Но для этого у него есть вычислительные машины. Несовершенство зрения компенсировали очки, микроскоп и телескоп, несовершенство слуха —микрофоны, а несовершенство наших вычислительных способностей — электронные вычислительные машины, которые считают со «скоростью света».

Мы живем среди чисел

Мы живем среди чисел

Математика — царица всех наук, ее любимцем является истина, а простота и бесспорность — одеянием… Математика, которая оказала столько услуг обществу, наукам и искусству, станет также путеводной звездой человеческого разума во всех областях познания.

Мы живем среди чисел. Мы все время должны рассчитываться или предъявлять какие-нибудь счета. В конструкторских бюро, в лабораториях и в магазинах — везде мы должны что-то измерять, считать. На любом крупном предприятии отделы планирования и статистики, бухгалтерия выполняют важные задачи, а работа их сводится, по-существу, к расчетам и замерам, причем считают и мерят не только люди, но и призванные служить человечеству машины.

Современный уровень нашей цивилизации требует от людей умения пользоваться не только очень большими, но и очень маленькими числами. Но и 5000 лет тому назад человек уже не мог обойтись без счета. Об этом свидетельствуют надписи на надгробных плитах, глиняные таблички и папирусы.

Ученые, которые исследуют, каким образом человечество освоило счет, обращаются не только к древним документам, но также изучают культуру существующих в настоящее время первобытных племен, а также развитие понятия числа у маленьких детей.

Американский историк математики Ф. Кэджори в своей книге «История элементарной математики», изданной в 1896 году, указывает, что одно из индейских племен, проживавшее в лесах в районе среднего течения Амазонки, число «три» выражает словом «поэтаррароринкоароак». Путешественник, который об этом сообщил, принял это слово за название числа «три», но можно вполне предположить, что это было не одно слово, а целое предложение. Это предложение могло, конечно, также обозначать какое-то «очень большое» (содержавшее более, чем два элемента) множество предметов, для которого это племя еще не нашло соответствующего числительного.

Современный человек начинает пользоваться числами уже с раннего детства. Такие числа, как 1,2,3,…. т. е. натуральные числа, нужны малышу уже в детском саду. Однако, несмотря на обиходный характер натуральных чисел, немногие знают о их некоторых очень интересных свойствах. Существует целый раздел математики, именующийся «теория чисел», который занимается изучением натуральных чисел.

Теоремы теории чисел обладают очень интересным свойством, все они кажутся очень простыми. Словесное изложение этих теорем понятно даже среднеобразованному человеку, однако, доказательства этих простых теорем — вещь чрезвычайно кропотливая и очень часто оно не под силу даже крупнейшим математическим умам.